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In der Mathematik, insbesondere im Bereich der Differentialgeometrie, setzt die Lichnerowicz-Formel den Spinor-Laplace-Operator mit dem Quadrat des Dirac-Operators in Beziehung. Sie ist ein Beispiel einer Weitzenböck-Formel. Benannt ist sie nach André Lichnerowicz.

Es sei ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Skalarkrümmung R {\displaystyle R} , und es sei S → → M {\displaystyle S\to M} ein Spinorbündel zu einer Spinstruktur auf ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} , mit Dirac-Operator D {\displaystyle D} und Spinor-Laplace-Operator Δ Δ S {\displaystyle \Delta ^{S}} . Dann besagt die Lichnerowicz-Formel:

D 2 = Δ Δ S + R 4 I d {\displaystyle D^{2}=\Delta ^{S}+{\frac {R}{4}}Id} .

Aus der Lichnerowicz-Formel folgt, dass jeder Eigenwert des Dirac-Operators die Ungleichung λ λ 2 ≥ ≥ 1 4 min x ∈ ∈ M R ( x ) {\displaystyle \lambda ^{2}\geq {\tfrac {1}{4}}{\text{min}}_{x\in M}R(x)} erfüllt. Insbesondere kann es auf Mannigfaltigkeiten positiver Skalarkrümmung keine Spinoren im Kern des Dirac-Operators geben, woraus mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz A ^ ^ ( T M ) = 0 {\displaystyle \mathbf {\hat {A}} (TM)=0} folgt.

• A. Lichnerowicz, "Spineurs harmoniques", C. R. Acad. Sci. Paris, 257: 7–9, 1963

• B. H. Lawson, M.-L. Michelsohn: "Spin Geometry", Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0-691-08542-5